Jobst P. Fricke: Eine Konsonanztheorie auf der Grundlage von Autokorrelation
unter Berücksichtigung der Unschärfe

 

 
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3. Das historische Umfeld

Isaac BEECKMAN war wohl der erste, der erkannte, dass sich die Verhältnisse der Saitenlängen, die man aus der Antike kannte, auf Verhältnisse der Schwingungszahlen übertragen lassen. Von ihm haben wir Zeugnis, dass er die Konsonanz der Oktave darin sah, dass die Pulsationen des oberen Oktavtones doppelt so häufig das Trommelfell des Ohres treffen wie die des unteren Tones (BEECKMAN 1615, nach MUZZOLINI 2006, S. 158). Das bedeutet aber, dass ihm bewusst sein musste, dass die Saitenlängen schwingender Saiten L zu der Häufigkeit der das Ohr treffenden Impulse, die wir mit f bezeichnen, umgekehrt proportional ist. Der erste, der dies in dieser Deutlichkeit äußerte, ist Galileo GALILEI (1638).

Seit der Antike hatte man zwar schon die Vorstellung, dass die tiefen Töne der längeren Saiten langsamer vibrieren als die hohen. Von dieser Tatsache scheinen die Sumerer schon Kenntnis gehabt zu haben (HESSE 2005, S. 206). Dass aber die halbe Saitenlänge doppelt so häufig schwingt wie die ganze, ist eine Erkenntnis von außerordentlicher Bedeutung, besagt sie doch, dass die bekannten Längenverhältnisse (1:2 für die Oktave, 2:3 für die Quinte und 3:4 für die Quarte) sich in den Zahlenverhältnissen der Schwingungen wiederfinden lassen. Der noch größere Schritt in Richtung einer wissenschaftlichen Betrachtungsweise aber ist der, die Konsonanzlehre aus dem Bereich der Spekulation auf den Boden der Physiologie zu stellen. Dies geschieht zunächst zwar auch noch mit spekulativen Annahmen, aber doch schon gegründet auf physikalische und physiologische Gegebenheiten. In den Bereich der Spekulation gehört noch die Annahme, dass die Regelmäßigkeit der Pulsationen für unser Hören eine besondere Bedeutung habe und diese Regelmäßigkeit beim gleichzeitigen Erklingen zweier Töne sich dahingehend auswirke, den Eindruck "Konsonanz" zu erzeugen.

Solche Vorstellungen finden wir bei Leonhard EULER wieder, der mit seiner Formel für die Schwingungszahl der Saite auch einen konkreten Beweis für die umgekehrte Proportionalität liefert (1739 C. 1 §9, S. 6). In seiner Formel findet man, wie auch in den Lehrbüchern seither, alle wichtigen, die Frequenz der Saitenschwingung bestimmenden Faktoren. Die Angabe der Länge befindet sich in dieser Formel im Nenner und steht damit in umgekehrter Proportionalität zur Frequenz L1/L2 = f2/f1. Wie GALILEI begründet EULER die Konsonanz mit dem Zusammentreffen der Pulsationen ("intervallis pulsuum" 1739 Tabelle I, zwischen p. 36 u. p. 37) im Gehörorgan. Er demonstriert dies mit paarweise angeordneten Punktreihen, in denen bei der Oktave 2:1 jeder zweite Punkt der oberen Reihe genau über einem Punkt der unteren Reihe eingetragen ist. Die Figuren 3 bis 8 bringen die Darstellungen für 3:1, 4:1, 3:2, 5:4 und 5:3, die Figur 9 sogar die Zusammenstellung für den Durakkord (6:5:4). Das Zusammentreffen wird auf diese Weise sehr anschaulich, und es wird auch deutlich, worauf er besonders hinweist, dass bei der Quinte z.B. 3 Pulsationen des oberen Tones in der gleichen Zeit stattfinden, in der der untere Ton zwei ausführt (1739 C. 2 §18, S. 34).

Die Reduktion der Schwingungsform auf einen Punkt pro Periode, den EULER hier in seiner Vorstellung vom Zusammentreffen und in seiner bildlichen Darstellung vollzieht, entspricht einer Digitalisierung des Schwingungsverlaufs mit einer Stützstelle pro Periode. Das Klangfarbenproblem und folglich das der Obertöne entfällt damit. Obertöne, die hier (wegen der Periodizität) zwangsläufig Harmonische sind, werden nicht weiter berücksichtigt. Die mikrorhythmische Ordnung, die sich beim Zusammentreffen zweier Töne ergibt, die in einem einfachen ganzzahligen Schwingungsverhältnis stehen, ist dadurch viel offensichtlicher. Nach der Entdeckung der aural microphonics (WEVER & BRAY 1930, 1937) wird diese aus dem 17. Jh. stammende Sichtweise durch die Beobachtung der Synchronisation der Nervenimpulse gestützt. Man konnte das Ohr einer Katze wie ein Mikrophon benutzen. Auch neuere neurophysiologische Untersuchungen lieferten inzwischen gesicherte Ergebnisse, dass die Periodizität der Schallschwingungen in den vom Innenohr ausgehenden Nervensträngen erhalten bleibt und durch ein der Autokorrelation entsprechendes statistisches Verfahren erkannt werden kann (TRAMO et al. 2001). Die das Innenohr erreichenden Schwingungen werden also von den Ganglienzellen in der Weise getriggert und in der nachfolgenden Verschaltung so verarbeitet, dass die Salven der durch den Nervus Acusticus in die höheren Zentren der Verarbeitung geleiteten Impulse die Periodizität abbilden.

Die Gegenüberstellung der durch Digitalisierung entstandenen Punktreihen hat im Vergleich zu der Gegenüberstellung der ursprünglichen Schwingungen einen erheblichen Vorteil. Verschiebungen zweier Reihen gegeneinander fallen erst ins Gewicht, wenn sie die Dauer einer Periode überschreiten, während für die Form der aus beiden Tönen zusammengesetzten Schwingung die Phasenbeziehungen erheblichen Einfluss ausüben. Bei geringfügigen Verstimmungen aus den ganzzahligen Verhältnissen verschieben sich die Punktreihen mit der Zeit nur wenig gegeneinander. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Integrationszeit für die gehörsmäßige Auswertung solcher Vorgänge bei 1/3 bis 1/4 Sekunde liegt (ZWICKERs dritte Integrationszeit, 1971), d.h. über längere Zeiten kann unser Gehör die Verschiebungen nicht verfolgen. Hiermit ist eine erste Begründung für die Verstimmungstoleranz gegeben, die in der time domain ermöglicht wird, in der freqency domain jedoch nicht.

Ziel von EULERs Überlegungen aber war - über die Plausibilität koinzidierender Punktreihen hinaus - die Ableitung eines "gradus suavitatis", den er auf der Basis der "kleinsten gemeinsamen Teiler", also der seit jeher bekannten Proportionen der Intervalle errechnet (§31, S. 41). Eine Zusammenstellung der gradus suavitates für die verschiedenen Intervalle findet man in Tabelle C. 7 §24, S. 112).

Die Reihe der Entdecker, Forscher und Philosophen, die die Beobachtung der Regelmäßigkeit in die time domain verlegen, ist lang. Die Mehrzahl von ihnen ist in der Zeit vor OHM zu finden. Zu ihnen gehört Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, dessen gern zitierter Ausspruch vom "unbewussten Zählen der Seele" dazu verleitet, die Registrierung der Regelmäßigkeit beim Hören von Tönen in höheren Ebenen der neuronalen Verarbeitung anzunehmen. Pietro MENGOLI (1670) legt ebenfalls die Zahl der Schwingungen zugrunde, wobei er sogar schon von den temperierten Intervallgrößen ausgeht und - in Abhängigkeit vom Konsonanzgrad - Toleranzwerte für die zulässige Verstimmung aus den ganzzahligen Intervallverhältnissen angibt (FRICKE 1973b). Auch er macht sich die Digitalisierung zunutze, die in der Reduktion der Schwingungen auf "battimenti" vollzogen wird, und berücksichtigt im weiteren Verlauf seiner Überlegungen nur noch die Punkte. Wie bei EULER kommt es nur noch auf die Zahl und die Abstände der Schwingungen an, nicht auf den Verlauf innerhalb der Schwingungsperiode. In MENGOLIs Berechnungen für seine Konsonanztheorie steckt deshalb noch ein beträchtlicher Anteil spekulativer Annahmen; denn konkrete Kenntnisse der physiologischen Vorgänge und der Psychoakustik fehlen noch. Aber auch nach der Einführung der Fouriertransformation in die Akustik durch OHM (1843) gibt es zahlreiche Wissenschaftler, die den von GALILEI initiierten Entwicklungsstrang fortsetzten. Theodor LIPPS (1883), A.J. POLAK (1900), Erich Moritz v. HORNBOSTEL (1926), und Horst-Peter HESSE (1972, 2003) sind hier zu nennen.

In diesem Rahmen einen vollständigen Überblick über bisherige Konsonanztheorien zu geben ist nicht möglich. Man kann aber versuchen, sie in drei Gruppen einzuteilen und innerhalb dieser Gruppen die Entwicklungslinien in groben Zügen zu skizzieren. Es sind dies

  • 1. die spekulativen Theorien, die auf den Zahlenverhältnissen beruhen,
  • 2. die spektralen Theorien, die das Zusammentreffen und -wirken der Obertöne zur Begründung heranziehen, indem man sich auf die spektrale Zerlegung der Töne im Gehör beruft. Die Störungs- und Koinzidenztheorien sind die wichtigsten Vertreter unter ihnen.
  • 3. die Impulsmustertheorien, in denen die Regelmäßigkeit der Zeitstruktur die entscheidende Rolle spielt. Sie ist in groben Zügen an der Wellenform abzulesen. Für die Gültigkeit dieser Theorie spricht, dass die Nerven im Gehörorgan von den im Ohr ankommenden Wellen, nachdem sie eine Grobanalyse in Frequenzgruppenbreite durchlaufen haben, getriggert werden. Die hierbei entstehenden Impulssalven bilden mehr oder weniger periodische Impulsmuster und repräsentieren somit die Periodizität der Wellen.

Die oben unter (1) genannten Theorien sind eigentlich gar keine Theorien, die das Konsonanz-Dissonanz-Phänomen erklären und damit keine Theorien im heutigen Sinne. Sie beschreiben nur ein Phänomen der Natur, auf das unser Ohr in besonderer Weise reagiert. Sie beschreiben nur, welche zwei Töne besser zueinander passen als andere, und geben dazu Verhältnisse von Saitenlängen an. Derartige Konsonanztheorien gibt es schon seit mehr als 2500 Jahren. Erst nach 1600 kommen Theorien auf, die versuchen, die Konsonanz auch zu begründen. Vorher galt von der Antike her die Lehre der pythagoräischen Schule, jene Lehre über die den Intervallen zugeordneten Proportionen, die von späteren Generationen dem Pythagoras selbst zugeschrieben wurde. In ihr werden alle die mit den Zahlen von 1 bis 4, der sogenannten Tetraktys der Zehnzahl, gebildeten Intervalle als konsonant bezeichnet.

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